Vật lý của chuyển động: Từ dây đàn đến các phương trình

Định luật Newton, khi áp dụng cho phần tử $\Delta x$ của dây đàn, nêu rằng lực ngoài ròng, do lực căng ở hai đầu phần tử gây ra, phải bằng tích giữa khối lượng của phần tử và gia tốc tại trọng tâm của nó: $\rho \Delta x u_{tt}(\bar{x}, t)$.

Phân tích lực căng $T$ thành các thành phần ngang $H$ và dọc $V$ (như được thấy trong Hình 10.B.1), ta thiết lập điều kiện cân bằng và chuyển động:

• Cân bằng theo phương ngang: $T(x + \Delta x, t) \cos(\theta + \Delta \theta) - T(x, t) \cos \theta = 0$ (cho ra $H$ là hằng số).
• Chuyển động theo phương dọc: $\frac{V(x + \Delta x, t) - V(x, t)}{\Delta x} = \rho u_{tt}(\bar{x}, t)$, từ đó dẫn đến mối quan hệ gradient $V_x(x, t) = \rho u_{tt}(x, t)$.
• Sự lan truyền sóng: Thay thế $V(x, t) = H(t) \tan \theta \approx H(t) u_x(x, t)$ dẫn đến $H u_{xx} = \rho u_{tt}$, hay phương trình chuẩn phương trình sóng một chiều: $a^2 u_{xx} = u_{tt}$, với $a^2 = \frac{T}{\rho}$ là vận tốc sóng.

Phương trình Điện báo và mở rộng

Các hệ thống thực tế hiếm khi lý tưởng. Chúng bao gồm một lực cản nhớt ($-c u_t$) và một lực phục hồi đàn hồi ($-k u$). Điều này tạo ra phương trình điện báo:

$$u_{tt} + c u_t + k u = a^2 u_{xx} + F(x, t)$$

Phương trình điện báo cũng điều khiển dòng điện áp hoặc dòng điện trong đường dây truyền tải (do đó tên gọi của nó); trong trường hợp này, các hệ số liên quan đến các thông số điện trong đường dây. Mở rộng sang các chiều cao hơn, ta có $a^2(u_{xx} + u_{yy}) = u_{tt}$ hoặc $a^2(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) = u_{tt}$.

Nguồn gốc của toán tử S-L

Khi chúng ta áp dụng phương pháp tách biến ($u = X(x)T(t)$) vào phương trình tổng quát như $r(x) u_t = (p(x) u_x)_x - q(x) u$, ta thu được một tỷ số bằng hằng số tách biến $-\lambda$: